主要记录一些关于坐标和线段的计算方法。因为经常会碰见，需要在平面上，计算坐标点。
(资料图)
例如两个坐标点之间的距离，两个线段是否平行，两个不相交的线段的交点。
由于程序中的坐标原点，都是左上角开始的。所以很少涉及象限的问题。以下的一些算法，不会强调象限问题。
这里，主要介绍如何使用勾股定理计算坐标距离，斜率计算线段交点等。
2. 根据两个坐标点，计算距离平面中，两点之间，直线最短。而在已知两个坐标点的x轴和y轴的情况下。我们可以通过勾股定理，来计算两个坐标点的距离。
因为，两个坐标点之间x轴的距离和y轴的距离可以看做三角形的两条直角边。斜边就是我们要计算的距离了。
而勾股定理为：a^2^+b^2^=C^2^
让我们带入到代码中来实现：
public double getPointDistance(Point point1, Point point2) { int a = point2.y - point1.y; int b = point2.x - point1.x; return Math.sqrt(a * a + b * b);}两个坐标point1，point2 其实顺序无所谓。
两个x轴坐标相减,得到的是在x轴上的距离。这个值可能为正，也可能为负。但无所谓，因为进行平方之后。只会是正数。
同理，Y轴也是一样的。所以我们计算时不用管哪个坐标点是前还是后。
Math.sqrt()是 java 提供的开平方工具。
我们得到的X轴的距离和Y轴的距离，都是相对于x轴和y轴垂直的。所以这两个距离组合的就是直角三角形的两条直角边。
两点的距离就是直角三角形的斜边了。也就是上面公式中的勾股定义直接计算即可。
有些小伙伴可能就会问了，如果这两个点的Y轴或者X轴的值是相同的。那么还可以这么计算么？
结论当然是可以了。
用上面的代码举例子，如果两个坐标点的Y轴相同。那么它们的距离实际上就是X轴的距离。
int a = point2.y - point1.y; //两个值相同，那么a的结果就是0int b = point2.x - point1.x; // 那么距离就是 b的值。// 带入进去0的平方也是0.那么就是b的平方进行开方运算。结果也就是b。（来源：zinyan.com）Math.sqrt(0+b*b);
所以，如果两个坐标点的Y轴相同，或者X轴相同。那么最后计算的结果仍然是正确的。
但，我们可以添加一个判断，来减少这种情况下的多余的平方，开方计算。
所以，完整版代码如下所示：
public double getPointDistance(Point point1, Point point2) { int a = point2.y - point1.y; int b = point2.x - point1.x; if (a == 0) return b; if (b == 0) return a; return Math.sqrt(a * a + b * b);}但是，如果我们的x轴和y轴的坐标值是 double 或者 float 。就不能这么判断了。
因为浮点运算，本身就不精确。我们判断的时候，需要考虑到这个浮动范围。
我们也可以不用考虑这方面的优化。因为多一个平方开方，也耗费不了多少内存和时间。
3. 计算两个线段的交点计算：在平面直角坐标系中点A和点B组成了线段A，点C和点D组成了线段B。如果他们有交点。那么交点坐标是多少。
而在平面直角坐标系中，同一平面内两条直线只有相交和平行两种情况。这个定义是一个数学定理。
所以我们计算交点的时候，可以先处理一下两个线段是否平行的问题。
3.1 判断线段是否平行那么，该如何判断两个线段是否平行呢？很简单比较两个线段的斜率是否相同即可。
斜率，计算的是一条直线相对横坐标轴的倾斜角度。所以它也叫做角系数。
例如，这两个线段，都相较于X轴倾斜了30°，那么不就是证明了这两个线段是平行线了么。
而直线的斜率公式为：k=(y2-y1)/(x2-x1)。其中K值就是斜率结果了。
那么线段是否平行就可以写为：
public boolean getParallel(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) { int line1K = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); int line2K = (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); return line1K==line2K}但是如果碰见了线段的x轴是相同的怎么办？也就是说线段垂直于X轴上。那么上面的方法就有问题了。
因为pointB.x - pointA.x =0了。
所以，我们需要进行变种：
//实际比较模式：(pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x)==(pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x) //改除法为乘法：(pointB.y - pointA.y) * (pointD.x - pointC.x) == (pointD.y - pointC.y) * (pointB.x - pointA.x)
这两个等式是相同的。
这样我们就可以判断两个线条是否平行了。完整代码如下：
public boolean getParallel(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) { return (pointB.y - pointA.y) * (pointD.x - pointC.x) == (pointD.y - pointC.y) * (pointB.x - pointA.x)}那么，方法中的坐标点，有前后要求么？答案是没有的。只需要知道这个直线上的任意两点就可以。
点斜式斜率公式：K=(y2-y1)/(x2-x1)也可以写为：K=(y1-y2)/(x1-x2) 这两个公式的结果是等值的。
公式中的K就是斜率值，而x和y是坐标点X轴和Y轴的值。
将上面的公式进行简单的变换，我们可以得到：
y2=K(x2-x1)+y1x2=(y2-y1)/K+x1也就是说，x1,y1 是已知的坐标点。斜率K也知道的情况下。我们如果知道交点的X轴就可以计算出Y轴坐标。反之当我们知道Y轴坐标也可以计算出X轴坐标。
3.2 计算线段交点在某种情况下，交点坐标的某个值是可以快速确定的。例如其中一条线段垂直X轴。或者平行于X轴。那么它们两个线段的交点的X轴或者Y轴就是已经明确了。
例如有坐标点：Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD。其中 pointA 和 pointB 组合成线段1，pointC 和pointD组合成线段2。
public Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) { Point point =new Point(); if (pointA.x - pointB.x == 0) { //线段1 两个坐标的x轴相等 说明是垂直x轴的情况，它们的交点x轴就是pointA的x轴 point.x= pointA.x ; //解释1：线段1垂直X轴，所以它的斜率值计算是0.无法计算，所以我们使用线段2的坐标计算斜率。 //解释2：我在其他方法中判断过平行线的情况，所以如果线段1垂直，那么线段2肯定不会垂直。 int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x); //解释3：代入公式：y2=K(x2-x1)+y1。在已知x2，x1，y1，K的情况下求y2 point.y= k*(point.x-pointC.x)+pointC.y; }else if (pointC.x - pointD.x == 0) { //线段2 垂直X轴的情况。它们的交点X轴就是线段2中的坐标的X轴 point.x = pointC.x; //解释1：线段2垂直X轴，所以它的斜率值计算是0.无法计算，所以我们使用线段1的坐标计算斜率。 int k = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //代入公式进行计算y轴坐标值 point.y = k * (point.x - pointA.x) + pointA.y; } return point;}可以得到垂直的，而平行于x轴的情况也可以参照上面的示例进行额外处理：
public Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) { Point point =new Point(); if (pointA.x - pointB.x == 0) { //线段1 两个坐标的x轴相等 说明是垂直x轴的情况，它们的交点x轴就是pointA的x轴 point.x= pointA.x ; //解释1：线段1垂直X轴，所以它的斜率值计算是0.无法计算，所以我们使用线段2的坐标计算斜率。 //解释2：我在其他方法中判断过平行线的情况，所以如果线段1垂直，那么线段2肯定不会垂直。 //因为是交点，所以交点坐标是满足线段2的斜率公式的。 int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x); //解释3：代入公式：y2=K(x2-x1)+y1。 在已知x2，x1，y1，K的情况下求y2 point.y= k*(point.x-pointC.x)+pointC.y; }else if (pointC.x - pointD.x == 0) { //线段2 垂直X轴的情况。它们的交点X轴就是线段2中的坐标的X轴 point.x = pointC.x; //解释1：线段2垂直X轴，所以它的斜率值计算是0.无法计算，所以我们使用线段1的坐标计算斜率。 int k = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //代入公式 进行计算y轴坐标值 point.y = k * (point.x - pointA.x) + pointA.y; }else if(pointA.y-pointB.y==0){ //说明线段1，平行于X轴 point.y= pointA.y; //使用线段2，计算斜率K。因为线段1平行x轴是没有斜率的 int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x); //代入公式： x2=(y2-y1)/K+x1 在已知y2，y1，K，x1的情况下求x2 point.x = (point.y - line2start.y) / k + line2start.x; }else if(pointD.y-pointC.y==0){ //说明线段2，平行于X轴 point.y = pointD.y; int k = (pointB.y-pointA.y)/(pointB.x-pointA.x); //使用线段1，计算斜率K。因为线段2平行x轴是没有斜率的zinyan.com point.x =(point.y - line1start.y) / k + line1start.x; } return point; }通过上面的方法，应该给大家详细介绍了。线段平行或者垂直情况下。快速计算交点的运算逻辑。
但是，如果线段并不垂直或者平行于X轴或者Y轴。那么如何计算呢？在实际处理过程中，不垂直才是最多的场景。所以上面的方法还需要进行扩充。
仍然使用：Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD 这四个坐标点，计算未知的交点。
假如交点坐标是Point point。我们来一步步推导相关的方程组。
int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //线段1的斜率int k2= (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); //线段2的斜率
线段1的斜率和线段2的斜率肯定是不一样的。但是线段公式中斜率是一个常量。也就是说只要是直线上的任意两点，计算出来的斜率是固定的。我们再根据点斜式公式的变种：y2=K(x2-x1)+y1 和x2=(y2-y1)/K+x1。可以得到以下：
PS: x1 ，x2,y1,y2 只是表示的变量，不是数值*2哦。别弄混了。
int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //线段1的斜率int k2= (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); //线段2的斜率point.x =(point.y-pointB.y)/k1+porintB.x; // 根据线段1的点斜式公式可以得到的方程组point.x =(point.y-pointD.y)/k2+porintD.x; // 根据线段2的点斜式公式可以得到的方程组point.y = k1(point.x-pointA.x)+pointA.y; point.y = k2(point.x-pointC.x)+pointC.y;
在上面的计算过程中，x和y的两种算法得到的结果是相同的。我们先求x轴坐标的话，从y的两个等式进行计算。得到以下方程组：
k1(point.x-pointA.x)+pointA.y-(k2(point.x-pointC.x)+pointC.y)=0; //第一步//第一步去除乘法括号k1*point.x-k1*pointA.x+pointA.y-(k2*point.x-k2*pointC.x+pointC.y)=0;//去除所有的括号k1*point.x-k1*pointA.x+pointA.y-k2*point.x+k2*pointC.x-pointC.y=0;//由于point.x 是未知数，其他的都是已知数。我们将未知数和已知进行等式的移动, 从左边移动到右边的时候，正负要互换k1*point.x-k2*point.x=k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y;//左边的等式可以继续简化(k1-k2)*point.x = k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y;//确保左边只有一个point.x 这个未知变量point.x= (k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y)/(k1-k2);
通过上面的推导，当我们知道线段1的斜率，线段2的斜率。以及线段1的某个坐标点坐标。线段2的某个坐标点坐标。
我们就可以直接通过公式：(k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y)/(k1-k2)计算出交点的x轴坐标。
当我们知道x轴坐标。之后通过y2=K(x2-x1)+y1点斜式方程的变种。直接计算y轴的坐标：
point.x = (k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y)/(k1-k2);point.y = k1(point.x-pointA.x)+pointA.y; //直接得到Y值的坐标
上面计算y轴坐标是使用的线段1的斜率进行计算的。所以x1和y1的值需要时线段1上的坐标点。
我们也可以使用线段2进行计算得到y轴值：
point.y = k2(point.x-pointC.x)+pointC.y; //直接得到Y值的坐标
到这里，我们就可以得到斜线的交点了。我们总结一下方法：
public Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) { Point point =new Point(); if (pointA.x - pointB.x == 0) { //线段1 两个坐标的x轴相等 说明是垂直x轴的情况，它们的交点x轴就是pointA的x轴 point.x= pointA.x ; //解释1：线段1垂直X轴，所以它的斜率值计算是0.无法计算，所以我们使用线段2的坐标计算斜率。 //解释2：我在其他方法中判断过平行线的情况，所以如果线段1垂直，那么线段2肯定不会垂直。 //因为是交点，所以交点坐标是满足线段2的斜率公式的。 int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x); //解释3：代入公式：y2=K(x2-x1)+y1。 在已知x2，x1，y1，K的情况下求y2 point.y= k*(point.x-pointC.x)+pointC.y; }else if (pointC.x - pointD.x == 0) { //线段2 垂直X轴的情况。它们的交点X轴就是线段2中的坐标的X轴 point.x = pointC.x; //解释1：线段2垂直X轴，所以它的斜率值计算是0.无法计算，所以我们使用线段1的坐标计算斜率。 int k = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //代入公式 进行计算y轴坐标值(zinyan.com) point.y = k * (point.x - pointA.x) + pointA.y; }else if(pointA.y-pointB.y==0){ //说明线段1，平行于X轴 point.y= pointA.y; //使用线段2，计算斜率K。因为线段1平行x轴是没有斜率的 int k = (pointD.y-pointC.y)/(pointD.x-pointC.x); //代入公式： x2=(y2-y1)/K+x1 在已知y2，y1，K，x1的情况下求x2 point.x = (point.y - line2start.y) / k + line2start.x; }else if(pointD.y-pointC.y==0){ //说明线段2，平行于X轴 point.y = pointD.y; int k = (pointB.y-pointA.y)/(pointB.x-pointA.x); //使用线段1，计算斜率K。因为线段2平行x轴是没有斜率的 point.x =(point.y - line1start.y) / k + line1start.x; }else{ int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //线段1的斜率 int k2= (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); //线段2的斜率 point.x = (k1*pointA.x-pointA.y-k2*pointC.x+pointC.y)/(k1-k2); point.y = k1(point.x-pointA.x)+pointA.y; //直接得到Y值的坐标 } return point;}到这里，我们其实就可以获取交点了。而除此以外，我们还可以通过斜截式公式，来计算交点
3.3 斜截式计算交点我们上面的推导过程使用的都是点斜式的公式进行的。其实我们还可以通过直线的斜截式方程：y=kx+b来进行推导直线的交点。相较于点斜式，个人认为斜截式可能会更容易理解吧。
在公式中，K表达的是斜率。斜率计算公式在上面有介绍。就不重复了
而y和x就是我们的坐标点的Y轴值和X轴值。b就是Y轴截距。
在平面直角坐标系中，直线的Y轴截距是相等的。也就是说不管是在直线的哪个点，代入到上面的公式中来得到的b值都是固定的。
public Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) { Point point =new Point(); /** 前面直角的方法省略了 主要是判断斜线的交点*/ int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //得到线段1的 斜率K的值 int b1 = pointA.y - pointA.x * k1; //得到线段1的 Y截距 b的值 int k2 = (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); // 得到线段2的斜率K的值 //斜截式公式：y=kx+b ，进行简单转换一下就是：b= y-kx int b2 = pointC.y - pointC.x * k2; //得到线段2的 Y截距b的值。在这里我们可以使用pointC的值，也可以使用pointD的值}然后，由于交点需要满足线段1的斜截式，也需要满足线段2的斜截式公式，所以我们可以得到：
point.y = k1 * point.x + b1; // y=kx+bpoint.y = k2 * point.x + b2; // y=kx+b//根据上面的公式转换。k1 * point.x + b1 = k2 * point.x + b2; //这样整个表达式中就只有point.x 这一个变量了。//根据数学表达式的规则，移动等号两边的数据。将未知数移动到左边k1 * point.x - k2 * point.x = b2 - b1;// 移动过程中要注意加减法//然后再提取乘法(k1 - k2) * point.x = b2 - b1;//再进行表达式变换point.x = (b2 - b1)/(k1 - k2); //也就是最终的结果值了
当我们知道x值之后。代入斜截式中可以快速得到y值：
point.y = k1 * point.x + b1;
完整版本效果就是：
public Point getCross1(Point pointA, Point pointB, Point pointC, Point pointD) { Point point =new Point(); /** 前面直角的方法省略了 主要是判断斜线的交点*/ int k1 = (pointB.y - pointA.y) / (pointB.x - pointA.x); //得到线段1的 斜率K的值 int b1 = pointA.y - pointA.x * k1; //得到线段1的 Y截距 b的值 int k2 = (pointD.y - pointC.y) / (pointD.x - pointC.x); // 得到线段2的斜率K的值 //斜截式公式：y=kx+b ，进行简单转换一下就是：b= y-kx int b2 = pointC.y - pointC.x * k2; //得到线段2的 Y截距b的值。在这里我们可以使用pointC的值，也可以使用pointD的值 point.x = (b2 - b1)/(k1 - k2); point.y = k1 * point.x + b1; }有些公式可能写的结果是这样的：
//情况1point.x = (b2 - b1)/(k1 - k2); //情况2point.x = (b1 - b2)/(k2 - k1);
这两个情况下，是等效的。在上面介绍了情况1的表达式是如何推导的。现在介绍一下如何推导出情况2：
point.y = k1 * point.x + b1; // y=kx+bpoint.y = k2 * point.x + b2; // y=kx+b//根据上面的公式转换。k1 * point.x + b1 = k2 * point.x + b2; //这样整个表达式中就只有point.x 这一个变量了。//将未知数移动到右侧b1-b2 = k2*point.x-k1*point.x;// 移动过程中要注意加减法//然后再提取乘法b1-b2 = (k2-k1)*point.x;//再进行表达式变换point.x = (b1 - b2)/(k2 - k1); //也就是最终的结果值了
所以，这种表达式结果是一致的。
PS：在上面的代码中，我的变量是int型的。那是因为我自定义的类型参数。你如果是double也是没有关系的。单位格式不影响计算逻辑。只是最终结果值的精度有差异而已。
3. 小结到这里，详细介绍了平面坐标系下的距离判断。线段平行和线段交点的计算。关于斜率的计算，稍微涉及了高中的知识。但是整体的计算过程也就初中水平了。
只是由于很长时间没有接触了。一些概念和公式都忘记完了。
所以，才会按照完全不懂的情况下。充分介绍一下这中间的运算过程。
后面可能会更新，如何计算角度。根据坐标点，计算运动方向等等吧。
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